认识python中的数字 - 电脑学习网

发布时间：2022-07-06 文章分类：C+ 语言, PhotoShop教程, Python 知识投稿人：李佳字号：默认 | 大 | 超大打印

概要

本提案定义了一种抽象基类（ABC）（PEP 3119）的层次结构，用来表示类似数字（number-like）的类。它提出了一个 Number :> Complex :> Real :> Rational :> Integral 的层次结构，其中 A :> B 表示“A 是 B 的超类”。该层次结构受到了 Scheme 的数字塔（numeric tower）启发。（译注：数字--复数--实数--有理数--整数）

基本原理

以数字作为参数的函数应该能够判定这些数字的属性，并且根据数字的类型，确定是否以及何时进行重载，即基于参数的类型，函数应该是可重载的。

例如，切片要求其参数为Integrals，而math模块中的函数要求其参数为Real。

规范

本 PEP 规定了一组抽象基类（Abstract Base Class），并提出了一个实现某些方法的通用策略。它使用了来自于PEP 3119的术语，但是该层次结构旨在对特定类集的任何系统方法都有意义。

标准库中的类型检查应该使用这些类，而不是具体的内置类型。

数值类

我们从 Number 类开始，它是人们想象的数字类型的模糊概念。此类仅用于重载；它不提供任何操作。

classNumber(metaclass=ABCMeta):pass

大多数复数（complex number）的实现都是可散列的，但是如果你需要依赖它，则必须明确地检查：此层次结构支持可变的数。

classComplex(Number):
"""Complexdefinestheoperationsthatworkonthebuiltincomplextype.
Inshort,thoseare:conversiontocomplex,bool(),.real,.imag,
+,-,*,/,**,abs(),.conjugate(),==,and!=.
Ifitisgivenheterogenousarguments,anddoesn'thavespecial
knowledgeaboutthem,itshouldfallbacktothebuiltincomplex
typeasdescribedbelow.
"""
@abstractmethod
def__complex__(self):
"""Returnabuiltincomplexinstance."""
def__bool__(self):
"""Trueifself!=0."""
returnself!=0
@abstractproperty
defreal(self):
"""Retrievetherealcomponentofthisnumber.
ThisshouldsubclassReal.
"""
raiseNotImplementedError
@abstractproperty
defimag(self):
"""Retrievetherealcomponentofthisnumber.
ThisshouldsubclassReal.
"""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__add__(self,other):
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__radd__(self,other):
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__neg__(self):
raiseNotImplementedError
def__pos__(self):
"""Coercesselftowhateverclassdefinesthemethod."""
raiseNotImplementedError
def__sub__(self,other):
returnself+-other
def__rsub__(self,other):
return-self+other
@abstractmethod
def__mul__(self,other):
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__rmul__(self,other):
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__div__(self,other):
"""a/b;shouldpromotetofloatorcomplexwhennecessary."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__rdiv__(self,other):
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__pow__(self,exponent):
"""a**b;shouldpromotetofloatorcomplexwhennecessary."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__rpow__(self,base):
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__abs__(self):
"""ReturnstheRealdistancefrom0."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
defconjugate(self):
"""(x+y*i).conjugate()returns(x-y*i)."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__eq__(self,other):
raiseNotImplementedError
#__ne__isinheritedfromobjectandnegateswhatever__eq__does.

Real抽象基类表示在实数轴上的值，并且支持内置的float的操作。实数（Real number）是完全有序的，除了 NaN（本 PEP 基本上不考虑它）。

classReal(Complex):
"""ToComplex,Realaddstheoperationsthatworkonrealnumbers.
Inshort,thoseare:conversiontofloat,trunc(),math.floor(),
math.ceil(),round(),divmod(),//,%,<,<=,>,and>=.
Realalsoprovidesdefaultsforsomeofthederivedoperations.
"""
#XXXWhattodoaboutthe__int__implementationthat's
#currentlypresentonfloat?Getridofit?
@abstractmethod
def__float__(self):
"""AnyRealcanbeconvertedtoanativefloatobject."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__trunc__(self):
"""TruncatesselftoanIntegral.
ReturnsanIntegralisuchthat:
*i>=0iffself>0;
*abs(i)<=abs(self);
*foranyIntegraljsatisfyingthefirsttwoconditions,
abs(i)>=abs(j)[i.e.ihas"maximal"absamongthose].
i.e."truncatetowards0".
"""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__floor__(self):
"""FindsthegreatestIntegral<=self."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__ceil__(self):
"""FindstheleastIntegral>=self."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__round__(self,ndigits:Integral=None):
"""Roundsselftondigitsdecimalplaces,defaultingto0.
IfndigitsisomittedorNone,returnsanIntegral,
otherwisereturnsaReal,preferablyofthesametypeas
self.Typesmaychoosewhichdirectiontoroundhalf.For
example,floatroundshalftowardeven.
"""
raiseNotImplementedError
def__divmod__(self,other):
"""Thepair(self//other,self%other).
Sometimesthiscanbecomputedfasterthanthepairof
operations.
"""
return(self//other,self%other)
def__rdivmod__(self,other):
"""Thepair(self//other,self%other).
Sometimesthiscanbecomputedfasterthanthepairof
operations.
"""
return(other//self,other%self)
@abstractmethod
def__floordiv__(self,other):
"""Thefloor()ofself/other.Integral."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__rfloordiv__(self,other):
"""Thefloor()ofother/self."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__mod__(self,other):
"""self%other
See
https://mail.python.org/pipermail/python-3000/2006-May/001735.html
andconsiderusing"self/other-trunc(self/other)"
insteadifyou'reworriedaboutround-offerrors.
"""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__rmod__(self,other):
"""other%self"""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__lt__(self,other):
"""<onRealsdefinesatotalordering,exceptperhapsforNaN."""
raiseNotImplementedError
@abstractmethod
def__le__(self,other):
raiseNotImplementedError
#__gt__and__ge__areautomaticallydonebyreversingthearguments.
#(But__le__isnotcomputedastheoppositeof__gt__!)
#ConcreteimplementationsofComplexabstractmethods.
#Subclassesmayoverridethese,butdon'thaveto.
def__complex__(self):
returncomplex(float(self))
@property
defreal(self):
return+self
@property
defimag(self):
return0
defconjugate(self):
"""Conjugateisano-opforReals."""
return+self

我们应该整理 Demo/classes/Rat.py，并把它提升为 Rational.py 加入标准库。然后它将实现有理数（Rational）抽象基类。

classRational(Real,Exact):
""".numeratorand.denominatorshouldbeinlowestterms."""
@abstractproperty
defnumerator(self):
raiseNotImplementedError
@abstractproperty
defdenominator(self):
raiseNotImplementedError
#ConcreteimplementationofReal'sconversiontofloat.
#(ThisinvokesInteger.__div__().)
def__float__(self):
returnself.numerator/self.denominator

最后是整数类：

classIntegral(Rational):
"""Integraladdsaconversiontointandthebit-stringoperations."""
@abstractmethod
def__int__(self):
raiseNotImplementedError
def__index__(self):
"""__index__()existsbecausefloathas__int__()."""
returnint(self)
def__lshift__(self,other):
returnint(self)<<int(other)
def__rlshift__(self,other):
returnint(other)<<int(self)
def__rshift__(self,other):
returnint(self)>>int(other)
def__rrshift__(self,other):
returnint(other)>>int(self)
def__and__(self,other):
returnint(self)&int(other)
def__rand__(self,other):
returnint(other)&int(self)
def__xor__(self,other):
returnint(self)^int(other)
def__rxor__(self,other):
returnint(other)^int(self)
def__or__(self,other):
returnint(self)|int(other)
def__ror__(self,other):
returnint(other)|int(self)
def__invert__(self):
return~int(self)
#ConcreteimplementationsofRationalandRealabstractmethods.
def__float__(self):
"""float(self)==float(int(self))"""
returnfloat(int(self))
@property
defnumerator(self):
"""Integersaretheirownnumerators."""
return+self
@property
defdenominator(self):
"""Integershaveadenominatorof1."""
return1

运算及__magic__方法的变更

为了支持从 float 到 int（确切地说，从 Real 到 Integral）的精度收缩，我们提出了以下新的 __magic__ 方法，可以从相应的库函数中调用。所有这些方法都返回 Intergral 而不是 Real。

__trunc__(self)：在新的内置 trunc(x) 里调用，它返回从 0 到 x 之间的最接近 x 的 Integral。

__floor__(self)：在 math.floor(x) 里调用，返回 Integral <= x。

__ceil__(self)：在 math.ceil(x) 里调用，返回最小的 Integral > = x。

__round__(self)：在 round(x) 里调用，返回最接近 x 的 Integral ，根据选定的类型作四舍五入。浮点数将从 3.0 版本起改为向偶数端四舍五入。（译注：round(2.5) 等于 2，round(3.5) 等于 4）。它还有一个带两参数的版本__round__(self, ndigits)，被 round(x, ndigits) 调用，但返回的是一个 Real。

在 2.6 版本中，math.floor、math.ceil 和 round 将继续返回浮点数。

float 的 int() 转换等效于 trunc()。一般而言，int() 的转换首先会尝试__int__()，如果找不到，再尝试__trunc__()。

complex.__{divmod, mod, floordiv, int, float}__ 也消失了。提供一个好的错误消息来帮助困惑的搬运工会很好，但更重要的是不出现在 help(complex) 中。

给类型实现者的说明

实现者应该注意使相等的数字相等，并将它们散列为相同的值。如果实数有两个不同的扩展，这可能会变得微妙。例如，一个复数类型可以像这样合理地实现 hash()：

def__hash__(self):
returnhash(complex(self))

但应注意所有超出了内置复数范围或精度的值。

添加更多数字抽象基类

当然，数字还可能有更多的抽象基类，如果排除了添加这些数字的可能性，这会是一个糟糕的等级体系。你可以使用以下方法在 Complex 和 Real 之间添加MyFoo：

classMyFoo(Complex):...
MyFoo.register(Real)

实现算术运算

我们希望实现算术运算，使得在混合模式的运算时，要么调用者知道如何处理两种参数类型，要么将两者都转换为最接近的内置类型，并以此进行操作。

对于 Integral 的子类型，这意味着__add__和__radd__应该被定义为：

classMyIntegral(Integral):
def__add__(self,other):
ifisinstance(other,MyIntegral):
returndo_my_adding_stuff(self,other)
elifisinstance(other,OtherTypeIKnowAbout):
returndo_my_other_adding_stuff(self,other)
else:
returnNotImplemented
def__radd__(self,other):
ifisinstance(other,MyIntegral):
returndo_my_adding_stuff(other,self)
elifisinstance(other,OtherTypeIKnowAbout):
returndo_my_other_adding_stuff(other,self)
elifisinstance(other,Integral):
returnint(other)+int(self)
elifisinstance(other,Real):
returnfloat(other)+float(self)
elifisinstance(other,Complex):
returncomplex(other)+complex(self)
else:
returnNotImplemented

对 Complex 的子类进行混合类型操作有 5 种不同的情况。我把以上所有未包含 MyIntegral 和 OtherTypeIKnowAbout 的代码称为“样板”。

a 是 A 的实例，它是Complex(a : A <: Complex) 的子类型，还有 b : B <: Complex。对于 a + b，我这么考虑：

如果 A 定义了接受 b 的__add__，那么没问题。
如果 A 走到了样板代码分支（译注：else 分支），还从__add__返回一个值的话，那么我们就错过了为 B 定义一个更智能的__radd__的可能性，因此样板应该从__add__返回 NotImplemented。（或者 A 可以不实现__add__）
然后 B 的__radd__的机会来了。如果它接受 a，那么没问题。
如果它走到样板分支上，就没有办法了，因此需要有默认的实现。
如果 B <: A，则 Python 会在 A.__ add__之前尝试 B.__ radd__。这也可以，因为它是基于 A 而实现的，因此可以在委派给 Complex 之前处理这些实例。

如果 A <: Complex 和 B <: Real 没有其它关系，则合适的共享操作是内置复数的操作，它们的__radd__都在其中，因此 a + b == b + a。（译注：这几段没看太明白，可能译得不对）

被拒绝的方案

本 PEP 的初始版本定义了一个被 Haskell Numeric Prelude 所启发的代数层次结构，其中包括 MonoidUnderPlus、AdditiveGroup、Ring 和 Field，并在得到数字之前，还有其它几种可能的代数类型。

我们原本希望这对使用向量和矩阵的人有用，但 NumPy 社区确实对此并不感兴趣，另外我们还遇到了一个问题，即便 x 是 X <: MonoidUnderPlus 的实例，而且 y 是 Y < : MonoidUnderPlus 的实例，x + y 可能还是行不通。

然后，我们为数字提供了更多的分支结构，包括高斯整数（Gaussian Integer）和 Z/nZ 之类的东西，它们可以是 Complex，但不一定支持“除”之类的操作。

社区认为这对 Python 来说太复杂了，因此我现在缩小了提案的范围，使其更接近于 Scheme 数字塔。

十进制类型

经与作者协商，已决定目前不将 Decimal 类型作为数字塔的一部分。

标签 Python, 数字